Сломалась крышка расширительного бачка. Внутренности развалились и в бачёк упали. Что теперь делать? Могут ли кусочки этого дела попасть в двигатель и чего-нибудь испортить?

Наплюй...это дело бывает у каждого второго и не было достоверного случая когда что-то случилось. Если очень хочется, можно слегка слить тосол чтобы обнажилось дно бачка и вынуть пружинку и пластмассинку.

А часто данное явление происходит? Я правильно понял, что тосол теперь у меня будет травить через крышку после прогрева. (Пока за новой ехать буду)

Часто, часто. Попроси у кого нибудь на время.И прикупи сразу две.

Покупай сразу нормальную крышку - кондовую восьмерочную. Она черного цвета и внутри стоит бронзовый клапан, а не пластиковый. Я ее сразу заменил.

Полностью согласен с Александром Владимировичем.
Сменил три крышки (стандартные).
Вылезал с таким же вопросом на форум.
Порекомендовали взять крышку от бачка 8ки.
С трудом, но нашел ее на рынке (Их не производят больше).
Результат - отличный.
Самое важное это то, что еще перестало пучить бачок.
Раньше, даже при не полностью закрученной крышке, бачок раздувало.
Отвернешь крышку он сдувался, словно шарик.
Бачок мог лопнуть.
Клапан этот пластмассовый в 10й крышке - полное фуфло.
Теперь, с использованием клапана 8ки, при полностью закрученной крышке - бачок в нормальном положении.
Удивительные у нас конструктора на ВАЗе, переходят от удачного решения, к неудачному

Поменял крышку на девяточную, по этому поводу вопрос. Если у Shandorr "Самое важное это то, что еще перестало пучить бачок", то может быть моя новая крышка просто не держит нужного давления? Может поменять на крышку образца 2110?

Что значит не держит? Что, тосол закипел или пар валит из -под капота?

Да вроде нет. Так ведь он некипел и со сломанной старой (у которой клапан развалился). Просто вытекал.