9,99(9) / 10 < 0.99(9)
Прочувсвуйте, почему оно верно.

Вот неравенство:
9,99(9) / 10 < 0.99(9)
Прочувсвуйте, почему оно верно. И сразу все поймете!

Ковбой Джо

Ну я надеюсь, что мы под нулями в представленных уравнениях понимаем не бесконечно малые величины, а все-таки конкретные классические нули...

9,99(9) / 10 < 0.99(9)

...0,49(9) = (49-4)/90 = 45 / 90 = 0,5
Все приведенные здесь бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9 оказались равными конечным десятичным дробям, которые получаются из данных десятичных дробей, если десятичный знак, стоящий перед первым периодом, увеличить на 1, а все последующие десятичные знаки отбросить. Можно доказать, что это относится не только к рассмотренным, но и к любым другим периодическим десятичным дробям с периодом 9. Отсюда вытекает, что любая конечная десятичная дробь может быть представлена в виде бесконечной периодической дроби двумя различными способами: с периодом 0 и с периодом 9. Например,
0,37 = 0,370000... = 0,369999. . . ;
Это обстоятельство затрудняет изложение теории бесконечных периодических десятичных дробей. Вот почему в дальнейшем мы условимся совсем не говорить о периодических десятичных дробях с периодом 9, каждый раз заменяя их соответствующими периодическими дробями с периодом 0.

10 а = 9 + а

С этим не поспоришь...

А на основании чего выведено нижеследующее, я хз...

9 а = 9
а = 1

0.(9)=1

короче кто-нибудь знает почему а+0=а

допусти 0=а*0

тогда а+а*0=а, выносим а

а*(1+0)=а, сокращаем а, получается

1+0=1

1/3 * 3 = 1



1/3 = 0.(3)

0,(3)*3 = 0,(9)

0.(9)=1

Это как с числом Пи.

1/3 * 3 = 1
1/3 = 0.(3)
0,(3)*3 = 0,(9)
0.(9)=1

0,37 = 0,370000... = 0,369999...

а о чем вещает Аццкей Ездун я даже задумываться не хочу.

0,(9) или 0,999… () («ноль и девять в периоде») — периодическое десятичное число, которое в точности равно числу 1. То есть строки «0,999…» и «1» представляют одно и то же вещественное число.

У этого равенства существует несколько доказательств разного уровня сложности, базирующихся как на свойствах вещественных чисел, так и на дополнительных предположениях, исторических предпосылках и многом другом.

Алгебраические
[править]
Деление столбиком

Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например 1⁄3 приводит к бесконечному 0.333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0.999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0.333… эквивалентно 0.999…. И 3 × 1⁄3 эквивалентно 1, поэтому 0.999… = 1.[1]

[править]
Манипуляции с цифрами

[править]
Аналитические

Число 0.999… в общем виде можно записать как
[править]
Бесконечные последовательности

В соответствии с определением позиционной системы счисления, посчитаем сумму ряда:


Для 0.999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии:[2]
Если | r | < 1 , то

Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) , и таким образом:


Такое доказательство (в вещественности что 10 эквивалентно 9.999…) было опубликовано в 1770 Леонардом Эйлером в издании Elements of Algebra.[3]

Единичные интервалы, (.3, .33, .333, …) сходящиеся к 1.

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9) .[4] В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм.[5]

Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − xn| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел:[6]


Последний шаг — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Там нет ошибки.

Это доказательство, что 0,(9) = 1