Могу ли я доверить управление авто на Украине своему сыну ,который не внесен в страховой полис? И могут ли ДАИ проверить полис ОСАГО?

Действие ОСАГО распространяется только на территорию Российской Федерации, и за границей не действует.
Поэтому, совершенно не важно, кто сидит за рулем за границей РФ и, особенно - полис никому показывать не нужно.

На Украине действует своя обязательная страховка, но на сегодняшний день по ПДД Укр водитель должен предъявлять полис ОСАГО(украинский) только в том случае, если договор страхования был заключен. А, если нет, то и ничего не нужно. Ответственность за отсутствия полиса обязательной страховки на Украине не предусмотрена.

Олег,большое спасибо за ответ,развеял все мои сомнения.

Скажите пожалуста, возмещает ли страховка (полная каска) повреждения лакокрасочного покрытия автомобиля ввиде царапин? Если да, то что для этого нужно..?
С уважением Mihel'

В разных страховых компаниях разные правила и условия. Для ответа на Ваш вопрос нужно читать правила страхования.